Близость к команде позволяла мальчишкам учиться футболу, глядя на старших товарищей. А Савину помимо бесценного опыта достались еще и бутсы Михаила Осинова – полузащитник «Ротора» и будущий капитан «Ростова» сделал подарок юному форварду, и благодарный Евгений играл в этих бутсах несколько лет.
С 2000 по 2005 год Савин сменил несколько клубов: «Ротор-2» Волгоград, «Ротор-дубль», «Рязань-Агрокомплект», «Локомотив-дубль» (Москва), «Томь» (Томск), «Анжи» Махачкала, «Химки». Несмотря на то, что ему не раз представлялась возможность закрепиться в высшем дивизионе, Евгений всегда предпочитал место в основе клуба первой лиги статусу дублера в элитном дивизионе.
В 2006 году футболист все-таки дебютировал в премьер-лиге, перейдя в пермский «Амкар». Савин тут же стал лучшим бомбардиром клуба, забив 6 голов в сезоне-2006. По итогам года Евгения назвали лучшим футболистом Пермского края.
Вызывался в молодежную и олимпийскую сборные России. К сожалению, сезон для Евгения завершился досрочно: в одном из матчей за сборную нападающий получил разрыв связок голеностопа. Впрочем, Савин довольно быстро восстановился и в марте 2007 даже попал в расширенный список кандидатов в национальную сборную России. И все же сыграть в команде Хиддинка ему тогда не довелось.
В августе 2007 года в последний момент сорвался трансфер Савина в ЦСКА. «Амкар» отзаявил его, контракт, рассчитанный на пять лет, был уже подписан футболистом и пермским клубом, но по инициативе акционеров ЦСКА сделке был дан задний ход.
11 января 2008 года состоялся переход Савина из «Амкара» в обновленные Леонидом Слуцким самарские «Крылья Советов». Сумма сделки по обоюдному согласию клубов не разглашается. После прохождения медицинского обследования с форвардом был подписан контракт сроком на четыре года.
